周佳洵

　　摘 要：排列组合是组合数学的最基本的知识。它是学习概率统计知识及进一步学习高等数学有关分支的预备知识，因此在数学中的应用是非常广泛的。本文在概述了排列组合定义的基础上通过实例分析了排列组合中几种典型的类型与解题方法，来帮助人们真正认识排列组合，掌握方法解决好排列组合问题。

　　关键词：排列组合；类型；解题方法

　　一、排列组合的概述

　　排列组合是组合数学中最基本的概念。所谓排列就是指从给定的元素中取出指定个数的元素，之后进行排序的一个过程。组合就是从给定的元素中只取出指定个数的元素，不考虑排序的一个过程。

　　二、排列组合的类型与解题方法

　　在高中数学的学习中，排列组合是重点也是难点。表面上很多排列组合问题都看起来很简单，但实际上排列组合是灵活易变，而且涉及到的题型也是多种多样的。因此，掌握排列组合的解题类型与方法是解题的前提。

　　（一）捆绑型问题捆绑法

　　如果题目中要求某几个元素必须在一起，这就属于排列组合中的捆绑型问题，我们就可以利用捆绑法来解决这类问题，把要求在一起的这些元素当成一个新的元素，再将这个新元素与其他元素按照题目要求进行排列组合，有时也不能忽略新元素内部的排列组合。

　　例1：4个男生与3个女生站成一排拍照，要求3个女生必须都站在一起，有多少种排法呢？这属于一个排队问题，排队需要考虑前后顺序，又因为3个女生必须在一起，因此把3个女生当成一个新元素，与4个男生一起排列，有[A55]种排法，再加上3个女生内部有[A33]种排法，所以总共有[A55?A33=7200]种排法。

　　（二）不相邻问题插空法

　　如果题目中要求至少有两个元素是不能相邻的，就是不相邻问题，我们需要先把没有限制的元素排列好，再将有限制的元素插入已排好的元素中间或者是两端即可。

　　例2：4个男生与3个女生站成一排拍照，要求3个女生不能相邻，有多少种排列方法呢？先将4个男生排好有[A44]种排法，再在他们之间或者是两端的5个空中选择三个位置让3个女生插入，就有[A35]种方法，于是总共有[A44?A35=1400]种排法。

　　（三）插板法

　　有些排列组合问题是比较复杂的，在做题难以迅速找到解题的突破口时，我们就可以将其想象成另外一个情景，构造一个插板模型来使复杂问题简单化。

　　例3：某高校高一年级有8个班级，要求每个班级至少要有一名同学来参加学校组织的10人研讨活动，在这种情况下会有多少分配方法呢？要是直接进行解题是非常困难的，甚至无从下手，但是构造一个插板模型，将题想象成把10个球分成8份，只需要把10个球排成一排，在9个间隙中插入7块板，就会有[C79]种分配方法。

　　（四）正难反易转化法

　　对于一些生疏的问题或者是直接解答困难的问题，从反面的情况来分析题目就会变得很简单，这类的问题我们就可以从反面出发，就可以将问题变得简单最终得出答案。

　　例4：同一个街道上有8个垃圾桶，为了合理配置资源又不影响正常的使用，可以把其中的3个垃圾桶撤掉，但不能同时撤掉相邻的2个或3个，也不能撤掉街道两头的垃圾桶，那么满足条件的方法有多少呢？根据条件，可以知道撤掉第一个垃圾桶的方法有6种，撤掉第二个、第三个都需要分情况讨论，比较复杂。但从反面入手，就是一个满足条件的撤掉与保留垃圾桶的排列，问题被转化成在5个保留的垃圾桶的6个空位中插入3个撤掉的垃圾桶，所以满足条件的方法有[C35]种。

　　（五）顺序固定问题用除法

　　解答排列组合问题时，常常出现某几个元素顺序一定的情况，就可以把这几个元素与其他元素一同排列，之后用总的排列数除以这几个元素的排列数。

　　例5：6个人排成一排，要求甲乙丙三个人按照甲-乙-丙的顺序进行排列，这种情况下的排队方法有多少？不考虑顺序固定这个条件，排队方法有[A66]种，而甲乙丙三个人的排列数[A33]中只有一个是符合条件的，所以最终的排队方法有[A66÷A33=120]种方法。

　　（六）特殊元素优先安排法

　　如果排列組合中出现特殊元素，我们就要优先考虑特殊元素，再安排其他元素。

　　例6：用0，2，3，4，5这5个数组成没有重复的三个数，其中偶数有多少个？由于组成的这三个数是偶数，那么末尾数字必须是偶数。又因为0不能排首位，因此0是一个特殊元素，要优先考虑0这个特殊元素，就有0排在末尾和不在末尾这两种情况。当0排在末尾时有[A24]个；当0不排在末尾时有[A14]、[A15]、[A14]个，所以具有偶数[A24+A14+A15+A14=30]个。

　　（七）多类元素组合问题

　　对于元素多，选取情况多的排列组合问题，可以按照要求采取先分类再分布，最后总算的方法；对于较为复杂的也可以采取表格法，即列图表的形式来解决问题。

　　例7：学校篮球队由9个人组成，其中7个人善于打前锋，3个人善于打后卫，现在要从中选出5个人（两个后卫，三个前锋，而且卫分左右，锋分左、中、右）进行组队，有多少种组队方法呢？由题目要求可以知道有1个人既善于打前锋，又善于大后卫。只会打前锋的有6个人，只会打后卫的有2个人，可以列表如下：

　　根据表我们可以得出组队方法总共有[A36?A36+A36?C12?A22+C26?A33?A22=900]种方法。除了用上述方法外，有时候也可以采取设置未知数解方程式的方法等，但在解题过程中一定要先审题，理解题意后，合理分类，避免遗漏，掌握这些求解方法才能灵活运用。

　　三、总结

　　排列组合是组合数学中的基本知识点，也是高中数学中的重难点。我们必须掌握排列组合问题中的典型类型和解题方法，比如捆绑型问题捆绑法、不相邻问题插空法和插板法等，同时灵活运用排列组合，才能加深对其的认识和了解，达到更有效解决排列组合问题的目的。

　　参考文献

　　[1]蔡勇全.谨防求解排列组合问题之五大误区[J].中学数学杂志：高中版，2015（12）：16-18.

　　[2]赵秀娟.排列组合问题的解题策略[J].中学课程辅导：教学研究，2016，10（23）.