郭胜红

　　摘 要：给出了原函数存在定理的两个简单推论，并讨论了含有变限定积分的函数性状及其应用。

　　关键词：原函数存在定理；变限积分；极限

　　微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，变限积分就是一种特殊的定积分，也是经常考察的一个知识点。它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊。特殊性决定了它的重要性，现就它的几个性质加以说明并举例阐述其应用。此外，为了解决在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数这一问题，必须引入变限积分这一内容。

　　1知识点

　　设函数在上可积，变限定积分定义了上的一个新函数。

　　定理1（原函数存在定理）如果函数在上连续，则变上限积分在内可导，且其导数为.即是被积函数的一个原函数。

　　推论1：若函数在区间上连续，为内任一定点，则变动上限积分函数在上处处可导，且，。

　　此推论是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量（不是含的其他表达式）；第二，被积函数中只含积分变量，不含参变量。

　　推论2：若是函数在区间上的连续点时，还在点可导，且。而对函数，当连续，和可微时，可导且有。

　　讨论含有变限定积分的函数性状时，往往利用这些重要的结论。

　　2应用

　　2.1求极限

　　解：令

　　，。

　　定义，在（或）上连续，利用洛必达法则可得：

　　2.2设函数连续，，存在，求极限

　　解：令，作代换，有：

　　，由于连续，可导，

　　由于，，以及时，利用洛必达法则可得：

　　2.3设函数在上连续且递增，则函数在内递增

　　证：容易看出在上连续，存在，使得，，所以：

　　，

　　即函数在内递增。

　　2.4设为上周期是1的连续函数，且，函数在上有连续导数，又设，试证明收敛。

　　证明：令，则可导。

　　因为在在上连续，所以，使得，都有

　　，，而收敛，故由级数收敛的比较判别法知级数收敛。

　　尽管2.4从题目看来与变限积分函数求导无关，但是引入变限积分会有柳暗花明又一村的感觉。

　　有关变限积分函数的应用是比较多的，本文只给出了变限积分函数的一些性质和应用的简单探讨，以上讨论只是一個开始，如果进一步对其进行讨论，会得到一些更好的结论，也期望可以从其他的角度来研究变限积分函数，使得变限积分函数像初等函数一样充分的被讨论，并给予足够的重视。

　　参考文献：

　　[1]华东师大数学系编.数学分析（下册）.高等教育出版社，1991.

　　[2]钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局，2003.

　　[3]江瑞侠、祝明慧、贾兴斌.浅谈“变限积分”[J].沧州师范专科学校学报，2006（2）：51-53.

　　[4]卢亚丽、李艳华、李战国、孙书安、李晔.变限积分函数求导方法研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），2004（1）：4-6.