陈军胜

　　摘 要：在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想方法中分类的原则、分类讨论的步骤和分类讨论的应用，体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

　　关键词：分类讨论思想；原则；步骤；初中数学中的分类讨论；分析；评注

　　在我们的数学学习中，常遇到同一问题出现不同情形的情况，处理此类问题，需要我们对问题按类别分出几种不同的情况，然后逐一加以解决.这种解决问题的方法体现的就是我们数学中的分类讨论思想.本文拟对初中数学分类讨论方法通过例题作一研究和分析，以飨读者。

　　一、分类讨论的原则

　　解决分类讨论问题，必须弄清楚分类的方法和原则，要考虑研究对象的特征，依据问题出现的不同情形，划分为不同类型加以分析和研究.一般来说，分类时必须遵循以下原则：一是分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；二是分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；三是分类讨论应逐级进行。

　　二、分类讨论的步骤

　　第一、确定研究对象的整体范围；第二、确定分类标准，合理地进行分类；第三、逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；第四、综合各级结果，得出最终结论。

　　三、初中数学中的分类讨论

　　初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类。如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类.如各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用。 下面通过一些例题来说明初中数学中常见的几种分类讨论思想。

　　（一）根据绝对值的几何意义进行分类讨论

　　例1.如果|x|=2015，|y|=4，且x
　　分析：此题的问题是求x、y的值，但由于2015和-2015的绝对值都等于2015，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论，由限制条件x
　　解：因为|x|=2015，所以x=2015或x=-2015；

　　因为|y|=4，所以y=4或y=-4；

　　由于x
　　（二）根据等腰三角形中的隐含条件进行分类讨论

　　1.在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论

　　例2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于16或17.

　　评注：此题是从等腰三角形中腰的不确定性进行分类的

　　2.在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论

　　例3.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为 30°或75

　　评注：此题是从等腰三角形中顶角的不确定性进行分类的

　　3.由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类

　　例4.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1）在坐标轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有8个。

　　分析：由于等腰三角形的腰与底不确定，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，△AOP的三边两两分别相等，①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA，这个过程需要在备用图中试画“两圆一线”。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。

　　（三）根据相似三角形中的隐含条件进行分类讨论

　　1.针对对应边不确定而进行的分类

　　例5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为

　　解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为，故x的值可以为5或.两种情况。

　　2.针对应角不確定而进行的分类

　　例6. 如图3，∠A=50°，∠B=60°，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为多少度时，△ABC与△ADE相似。

　　分析：显然∠C=70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC与△ADE相似.

　　解：（1）当∠ADE=∠C=70°时，△ABC∽△AED.

　　（2）当∠ADE=∠B=60°时，△ABC∽△ADE.

　　所以当∠ADE等于70°或60°时△ABC与△ADE相似.

　　3.针对图形的位置不确定而进行的分类

　　例7、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t<6），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为2或3.5或4.5 。

　　分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案.

　　（四）根据圆中的隐含条件进行分类讨论

　　1.圆周角的顶点位置不确定需分类

　　例8、在半径为5cm的⊙O中，弦AB=5cm，点C是⊙O上任意一点（不与A、B重合）。则∠ACB=30°或150°。

　　解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，∠ACB=30°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=150°.

　　2.两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类

　　例9、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，弦CD=6cm，且AB∥CD，则AB和CD之间的距离为1cm或7cm .

　　解析：分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算.

　　解析：分两圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况计算.

　　值得一提的是，分类讨论思想涉及初中数学的全部知识点，关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的所有情况做到准确分类，再分别加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。