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归纳法及数学归纳法区别

时间:2023/11/9 作者: 速读·中旬 热度: 7691
吴方跃

  摘 要:本文介绍了归纳法及数学归纳法的定义,并举例说明了我们在使用归纳法及数学归纳法时应注意的问题,告戒我们不能盲目的归纳,避免得出错误的结论,本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤,并且比较了归纳法与数学归纳法之间的差异,还介绍了归纳法及其数学归纳法推理的常用技巧。

  关键词:数学归纳法;归纳假设;归纳推理

  归纳法与数学归纳法,在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用,特别是在定理证明中占非常重要的地位,所以我们必须引起注意,下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。

  1归纳法

  1.1归纳法的定义

  由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。

  归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。

  1.1.1不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法。

  1.1.2完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.

  注意:不完全归纳法是从特殊出发,通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法,运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式,或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律,必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。

  1.2使用归纳法要谨慎

  我们在使用归纳法时,经常盲目归纳,从而得出错误的结论,所以我们应该引起注意,下面我们通过几个例子看看。

  例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+(2n-1)]

  解:用S(n)表示这个和,令n=1,2,3,4,5,则有

  S(1)=1

  S(2)=1+3=4

  S(3)=1+3+5=9

  S(4)=1+3+5+7=16

  S(5)=1+3+5+7+9=25

  可见,对n=1,2,3,4,5,前n个连续奇数的和等于[n2],但是,我们不能由此马上断定,对任意的n,都有S(n)=[n2],因为,由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。

  考慮形如[22n+1]的数.当n=0,1,2,3,4,时,这些数[220]+1=3,[221]+1=5,[222]+1=17,[223]+1=257,[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想,凡是这种形式的数都是素数.然而,在十八世纪,另一位伟大的数学家,彼得堡科学院院士,L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。

  这里还有一个例子,十七世纪著名的德国数学家,高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了,对任意的正整数n,[n3-n]能被3整除,[n5-n]能被5整除,[n7-n]能备整除,据此,他差一点猜想:对任意奇数k和自然数n,[nk-n]能被k整除,幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。

  现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知,不管验证了多少个n ,公式

  S(n)=[n2] [……](1)

  总不能认为已证明了,因为总有一种可能性,对某个未检验过的n,公式(1)不再成立.为了确信公式(1)对所有n正确,我们必须证明:无论在自然数列中走到多远,我们决不能从使公式(1)成立的n值走到使(1)不再成立的数值。

  2 数学归纳法

  2.1 数学归纳法的定义

  n=1正确时,若在n=k正确的情况下,n=k+l也是正确的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种方法就是数学归纳法。

  2.2 运用数学归纳法证题的步骤

  (Ⅰ)验证当n=1时,某命题是正确的。

  (Ⅱ)假设n=k时,命题也是正确的,从而推出当n=k+l时,命题也是正确的.因此,命题正确。

  容易悟错的是:既然k是任意的自然数,n=k是正确的,那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢?这很容易理解,k虽然是任意假设的自然数,但是,一旦假定了n=k时,k就是一个固定的自然数了,换句话说,k就是一个有限的数.因而,能否从n=k时命题正确,推出n=k+l时命题也是正确的,这就不一定.如在n=k时正确,推出了n=k+1也是正确的,这时,问题就出现了一个跨越,发生了本质的变化,从k到k+l,便是由有限变化到无限的过程,这正是数学归纳法之精髓。

  在比较复杂的情况下,数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化,下面有两种变形.

  形式1:证明中的第一步不一定从1开始,如果当n=[k0]的时候,命题是正确的,又假设n=k(k≥[k0])时,这个命题是正确的,可以推出当n=k+l时,这个命题是正确的,那么这个命题当n=k+l时都正确,从而得出命题正确。

  例、当n>1且n∈N时,求证:

  [1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]

  证明: (1)n=2时,左边[=13+14+15+16=1920>910]

  左边[>]右边,所以不等式成立.

  (2)假设n=k时不等式成立,即

  [1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]

  当n=k+1时,

  [1(k+1)+1+1(k+2)+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]

  [=][(1k+1+1k+2+…+13k)+] [(13k+1+13k+2+13k+3-1k+1)]

  [>910+(13k+3+13k+3+13k+3-1k+1)]

  [=910]

  即n=k+l时,不等式成立。

  根据(1)与(2)得,对于n>1且n∈N,所证不等式成立。

  形式2:运用数学归纳法证明时,第一步不只验证第一个值,而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的,第二步假设n=k是正确的,推出n=k+l是正确的,那么这个命题就是正确的。

  例、如果[r0]=2,[r1] =3,并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]

  试证:[rn=2n+1]

  证明:由题意,需验证n=0,n=1两值。

  (1)当n=0时,[r0]=2,另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的;还有n=1时,[r1] =3,另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。

  (2)假设当n=k时命题是正确的,当然n=k-1也 是正确的。

  即 [rk-1=2k-1+1],[rk=2k+1]成立。

  则 [rk+1+1=3(2k+1)-2(2k-1+1)=2k+1+1]故在n=k+l时,命题也成立,于是可以断定原命题成立。

  应注意,运用数学归纳法论证某一问题时,它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础,而不做第二步的证明,就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一,将可能会得出十分荒谬的结论。

  参考文献:

  [1](苏)L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》,莫斯科米尔出版社,1979年

  [2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社,1963年

  [3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(第二版)

  [4]周性伟著《实变函数》科学出版社出版,2000年
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