马慧元

　　

一

　　偶然地，我在文集《音乐和数学：从毕达哥拉斯到分形》（Music and Mathematics： From Pythagoras to Fractals，2006）一书中发现了一篇有趣的文章《音乐中的几何学》，想必其作者霍奇斯（Wilfrid Hodges）也是位标新立异的音乐家。好奇地搜索了一下，只见网上有个一九四一年出生的霍奇斯，是伦敦大学的数学教授，英国科学院院士，主攻模型论—我不相信是同一个人，但居然真是！大多数介绍他的网页只提及他的数学成就，他自己也没拿音乐文章当回事，可是这篇洋洋洒洒的宏文，涉及从早期音乐到二十世纪的偏门曲目，引证清晰，谱例完备，俨然音乐学家所为。除了“音乐几何”，他对乐器调律也能洋洋洒洒，如数家珍。真可谓，学霸的世界我们不懂。

　　《音乐中的几何学》一文并不长，但这应该是他多年来的兴趣和关注。他像采集标本一般，收集了许多自己喜欢的、能佐证一些音乐/数学猜想的例子。我居然在网上看见了他的草稿和笔记。也许出于数学家的本能，霍奇斯着迷的是那些有特定结构和形态的音乐。文章开始，讲的是埃尔加的《谜语变奏曲》，说他作曲的时候，正好宝贝狗狗掉进河里，“嗷嗷”叫着爬上来，他索性把这段写进去，一串下降的十六分音符一坠到底。这算是个音乐和空间相“勾结”的小例子。任何有音乐经验的人，都能想出太多的例子，比如攀登状态时声音的“上升”，挣扎状态时的迂回等等。就拿西方音乐来讲，从古至今的教会音乐都有这样明显的情景结合，有时是一种通俗化的音乐图解。还有，英国作曲家蒂皮特（Michael Tippett，1905-1998）的清唱剧《我们时代的孩子》中的一段《寒冷愈深》中，女高音下行表示“下降”，管弦乐队的低声部却在上升，跟女高音的声音相撞后分开。两者间的空腔之中，暗流涌动，并且互相牵扯羁绊，堆积得浓而涩。而在舒伯特的歌曲《死神与少女》中，少女歌声热烈，充满弹性，钢琴的低声部却在下降，霍奇斯认为，这是少女沉向死亡的暗示。

　　如果不从霍奇斯的几何理论去想，我自己揣测一下，音乐与无声的空间，为什么有这样的对应？音乐是写在谱子上的，尽管并不只有从低到高，从左到右一种方式，但人仍然可以从音区的距离之中感发出远近。在这一点上，音乐和语言体现出类似的通感，比如会将对一些事情的理解称为“更深”“更广”，我们还会说“圆通” “棱角”“刚直不阿”“尖酸刻薄”，仿佛抽象概念也有几何形状，这不都是想象出来的隐喻吗？当然，谱纸上的形态和音乐的声音不一定有完好的对应，有些密密麻麻的和弦，听起来很空，反之亦然—音乐是一种特别的、有循环性的结构，我们在生活中遇到的不多，所以这种隐喻是可能失准的。这是我作为听者的经验。

　　霍奇斯把自己感兴趣的音乐标本按音乐在纸上体现的几何变换分类，也就是说，在组织音乐的时候，不少作曲家都用了一些对称的手段来形成呼应和变化。霍奇斯把音乐按音高和时间两个重要变量想成二维空间，而二维空间中的几何变换的形式大约有这么几种：平移、比例缩放、旋转反射、错切等等。而反射（也就是对称）又分几种：上下对称、左右对称、旋转对称。音乐中体现的对称关系，可以用几个字母的形态直观地显示：FGJ （无对称）、CEK（上下对称）、AMV（左右对称）、NSZ（旋转对称）、HOX（全方位对称）。

　　他为这五种都找到了音乐的谱例。第一种似乎没什么可说，但这里有个著名的例子，就是《帕格尼尼狂想曲》的第二十四首，被拉赫玛尼诺夫写成了一个二十多分钟的漫长主题变奏《帕格尼尼主题变奏曲》，其中最有名的第十八变奏，是把帕格尼尼的不对称的主题倒置过来的—它并不是严格的镜像对称，但处处略可辨认。下图中，每两行的第一行是帕格尼尼原作，第二行是拉赫玛尼诺夫的变奏，读者可以看到主题的倒置和变化：

　　至于更贴切的上下或左右镜像对称，巴托克的《小宇宙》中就太多了。

　　对称之外，霍奇斯也提到“比例放缩”这种变换，不过并没有用“放缩高手”巴赫做例子（这本来也是赋格这种音乐形式的常态处理），却提到了专门给自动钢琴作曲的南卡罗（Conlon Nancarrow，1912-1997），这完全可以理解。在玩弄数字比例方面，南卡罗比巴赫刺激多了，他的“演奏家”是自动钢琴，不受技术限制，可以让“两只手”同时以无理数比例的节奏同时弹（如果换成活人，拍子都数不出来），又可以让音符在琴键上完全放飞自我，三十二分音符跟全音符相邻堆积，空间真是宽到无限，跟数学公式的对应也可随心所欲。顺便说一下，南卡罗终身不太为人所知，晚年暴得大名，但近年又渐渐销声匿迹，大概是因为数学公式终究不易吸收为音乐印象之故，所以最终还是没能像艾夫斯那样挤进经典曲库。

　　音乐中还有一种很极端的对称，就是把主题的音符一个个倒过来作为新主题（retrograde symmetry），犹如回文诗。一般来说，除了静态的、谱面形态的特点，音乐是运动的艺术。同一条旋律，交换几个音的顺序，效果和情绪就完全不同，不仅因为音调变了，更重要的是，解决的趋势反过来，就不再是解决。此外，主题结尾往往略拖长，倒过来变成开头，往往要缩短，所以不可能纹丝不变。作曲家这么玩的话，一般会选择比较中性的主题，比如巴赫的《音乐的奉献》中的螃蟹卡农，主题呈圆弧形，來去自如。

　　霍奇斯又用了一个比较现代的例子，里姆斯基-科萨科夫有个歌剧名叫《金鸡》，剧情中有这么一段，占星家说一只金鸡能预示国家“和平”还是“危险”的命运。作曲家把这么两种对立而又对称的运动分别埋藏在开头和结尾，开头是“和平”主题舒舒服服地展开，气氛祥和，歌剧末尾则是金鸡怒啄国王，然后天昏地暗，一切灰飞烟灭之际，“危险”的声音出现了。