(1.郑州升达经贸管理学院基础部 河南 郑州 451191；
2.中原工学院理学院 河南 郑州 451191)
Z分数分布理论在教育评价体系中的应用
张志银1刘丹丹2
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本文简单介绍了标准分数(Z分数)分布理论，并着重论述了标准分数(Z分数)分布理论在教育评价体系中的应用，以使教育评价更为客观、公平、公正，这对于提高教育评价水平和管理水平有着重要的意义.
标准分数；正态分布；教育评价；应用
1 引言
目前,我国在教育评价方面取得了很大的成绩,教育评价理论逐步深化,教育评价实践活动也广泛开展.但同时也存在着评价模式呆板单一、评价技术手段水平不高等问题.在教育评价中有许多资料和指标是属于定性方面的,如工人的工作业绩,学生的思想品德,教师的教学水平等,往往以好、中、差或优、良、中或合格、不合格等来划分.假如教师的教学水平用三个指标(教学能力、教学态度、教学方法)反映,每个指标又分为三等(优、良、中),教师张三的三个指标等级分别为优、良、中,教师李四的三个指标等级分别为中、优、良.试问这两位教师谁的教学水平更高呢？要回答这个问题，我们面临这样一个困难：对这两位老师评价的指标属于定性描述或等级化，若仅仅停留在定性描述或等级化，则无法将两个或多个具有若干定性指标基本相同的个体进行比较.有时候即使对于有些定量的资料和指标,如果不进行技术处理,也很难将两个或多个具有相同定量指标的个体进行比较.那么，如何将定性指标加以量化或对定量指标进行处理，并尽量地做到评价的合理、公平、公正，是值得深入研究的问题.一方面可以用概率统计中正态分布知识将这些定性描述具体数量化；另一方面，我们努力找到找到一种处理定量数据的方法.为了方面讨论问题，下面我给出正态分布的相关知识及标准分数(Z分数)的相关理论。2 正态分布概述
正态分布是一种连续性随机变量的概率分布，在其次数分配中，中间的次数多，由中间往两边的次数逐渐减少，两边的次数多少相等，呈一种“两头小、中间大”的分布形态.其标准正态曲线如图1:
图1
从标准正态曲线可知，它具有以下特点：
(1)曲线在X=0(即平均数)处为最高点；
(2)曲线以X=0处为中心，双侧对称；
(3)曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，最后接近基线，但永不与基线相交；
(4)标准正态分布上的平均数为0，标准差为1，基线上从X=-3到X=3几乎有6个标准差的距离，并且多数数据都集中在平均数附近，具体地说有：
P(-1
P(-2
P(-3
即是说，在平均数上下一个标准差单位范围内，包含曲线下总体面积的68.26%，在±2个标准差范围内，包含总体的面积为95.46%，在±3个标准范围内，包含总体的面积的99.73%.因此，在±3个标准差范围以外，仅有0.27%的面积，在统计中可以忽略不计.但是，需注意的是，横轴上的距离相等，因在曲线中所处的位置不同，所包括的面积是不相同的.越离平均数较远的地方,在其标准差内所包括的面积越少.
3 标准分数(Z分数)概述
在考试中，学生所得分数称为原始分数.但有时原始分数也说明不了学生的学习好坏.比如,某学生在一次数学考试中得了90分(试题比较容易)，在另一次数学考试中得了75分(试题比较难)，那么试问该学生是进步了还是退步了呢?为了解决这个问题，下面引入了标准分数(Z分数)的概念.
S为原始分数的标准差
Z为标准分数
由概率统计知识可知
(1)
(2)
上述(1)(2)说明标准分数Z这个统计量服从标准正态分布，即Z～N(0,1).
4 标准分数(Z分数)分布理论在教育评价体系中的应用
下面就介绍在几类教育实践中用到标准分数(Z分数)分布理论的例子.4.1 定性指标的比较
对于那些定性的品质资料或质量指标,我们又该怎么办呢?首先,我们要做的工作是需要将它们量化为标准分数Z.具体做法如下：(1)算出个体的品质资料或质量指标所得等级在群体中所占的比例,此比例可视为各等级的概率.(给出的各等级的人数应服从或基本服从正态分布).假设
P(优)=a，P(良)=b，P(中)=c，P(合格)=d，P(不合格)=e
这里a+b+c+d+e=1.
(2)作一标准正态曲线的草图,并大致将正态曲线下图形的面积从右向左按a,b,c,d,e的次序划分.如图2:
图2 原始分数标准正态曲线图
(3)由于同等级内也有差异,因此我们把各等级均视为集中在中位点上,找出各等级中位点的标准分数Z来代表各等级的标准分数Z.
由图2可知
然后根据标准正态分布表可查出Z不合格,Z合格,Z中,Z良,Z优.
4.2 等级评定
在学生成绩或能力符合正态分布时,可将正态分布基线上X=-3至X=+3之间六个标准差的距离分成相等的几份,然后求出各段Z值间的面积,再乘以总人数,即为各等级评定人数.例如某校初中一年级有学生500人,其数学成绩符合正态分布,把学生数学成绩定为优、良、中、差四个等级,问各等级内应有多少学生.其确定方法为,将X=-3至X=+3分成四等份,每等份X值为1.5,即如图4：
图4
查正态分布表可知,X=3的面积比例P=49.87%,X=1.5的面积比例为P=43.32%，则优等人数面积比例为P=49.87%-43.32%=6.55%.那么,优等人数500×6.55%=32.8人，即该年级数学成绩优等生约有33人.
查正态分布表得知，X=1.5的面积比为43.32%,则成绩良等者约有500×43.32%≈217人.由于属正态分布,成绩属中等者与成绩良等者相同也约有217人,成绩属差等者与成绩优等者相同,也约有33人.
利用正态分布不仅可以根据等级求人数,而且可以估计分数区间的人数.例如,某初中一年级380名学生,数学考试成绩平均分为85分,标准差为6,问70-80分之间有多少人？这仍属求某一段分数区间的概率问题.首先把原分数转换为Z分数.
然后求-0.83个标准差与-2.5个标准差之间所包含的面积.查表P1=0.2967，P2=0.4938则70-80分之间所含的面积比例为P=0.4938-0.2967=0.1917.故70-80分之间的学生约有380×0.1971≈75人.
4.3 品质评定
品质评定数量化主要用于不同的评价者对评价对象的等级评分,以求得评价对象的平均成绩情况.其方法就是把评价者所评定的各等级人数的百分比作为正态曲线下的面积,再以平分每块面积的Z值(即中位数)作为各等级数量化的分数,最后计算每个评价对象等级的数量化分数.例如,某校年度考核评优时,学校三位领导对全校40名教师按A、B、C三个等级进行了评定,结果为如表1:
表1
现要从教学实绩一样的甲、乙、丙三位教师中评出两位优秀,三位领导的评价结果如表2:
表2
试问,应选评哪两位?由于不同评价者评的等级不同,要选评哪两位,这类问题就需要把等级数量化.即把评定的等级转换为标准分数Z.
首先,计算各等级的比率.即用各等级人数除以总人数,并将此数值看作该等级在正态曲线下所占的面积值.
最后,计算等级分数.即用不同评价者所评的等级所对应的值相加并求其平均数,则为各评价对象的等级分数.
那么,甲、乙、丙三位教师的等级数量化分数分别为:
甲教师:[(-1.36)+0.71+(-0.45)]÷3=-0.367
乙教师:[(-0.19)+(-1.44)+0.75]÷3=-0.293
丙教师:[0.98+(-0.42)+(-1.65)]÷3=-0.545
从等级数量化分数比较,-0.293>-0.367>-0.545,所以,学校评优应评乙、甲两位教师.
这样,就把定性的评价转化为定量化的评价,更为客观、科学、公平、公正.总之,正态分布应用在教育评价实践中,可以克服许多弊端,使教育评价更加客观、公平、公正,使教学管理工作更加科学化.数学知识在各个领域有着广泛的应用,特别是概率统计知识与我们的生活实际密切相关，但这需要我们数学工作者不断地努力探索。
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张志银(1983-)，男，汉族，河南鹿邑人，讲师，硕士，郑州升达经贸管理学院基础部，研究方向：从事大学公共数学教学等方面的研究；刘丹丹(1984-)，女，汉族，河南鹿邑人，讲师，博士，中原工学院理学院，研究方向：从事大学物理教学及原子与分子物理等方面的研究。
G712
A
1672-5832(2017)12-0106-02
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