孙泽香

　　(贵州师范大学数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550001)

　　研究对偶矩阵半群SH2n的若干性质

　　孙泽香

　　(贵州师范大学数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 550001)

　　SH2n是由特殊矩阵构成的半群，它与其学者研究的矩阵半群所定义的运算不一样，这样构造的矩阵是一个Clifford半群，同时也是一个逆半群。研究SH2n的格林关系，正则性，极小理想。

　　Clifford半群;逆半群;正则性;极小理想

1 引言

　　

　　符号说明：Sh2n是对取定n以后的集合；例如：取n=1，Sh2={SH2n||H2|=2}

2 预备知识

定理1：在一个交换半群里L=R=H=D=J.

　　

　　

　　L?R;同理可证R?L;即R=L, 因为H=L∧R;D=L∨R;所以L=R=H=D

　　

　　

　　

　　贵州省自然环境优美，交通便利，民族文化丰富多彩、特色鲜明，历史文化底蕴丰厚，因此，该区域的民族文化遗产作为旅游资源具有极大的开发利用优势。

　　综上所述可得：L=R=H=D=J；

　　定理2.若一个半群S是一个单半群，以下条件是等价的；[1]

　　(a)S是完全单半群；(b)S是完全正则的；

　　定理3.设集合S是一个没有零元的半群，若S有核K，那K是一个单半群.[1]

3 主要结果

3.1 研究SH2n的格林关系

　　由定义我们可知SH2n是一个交换半群，由定理一可知：L=R=H=D=J

　　3,2 证明:半群SH2n是一个Clifford半群

　　

　　得这样的半群是一个完全正则的，再因为该半群是具有交换律的，所以SH2n一个Clifford半群。

　　3.3 证明:半群SH2n是一个正则半群

　　证明:对?a∈SH2n,都?b∈Sh2n,使得aba=a;实实因：对?a∈SH2n,a的逆元都存在。使得aa-1=e，(e是半群SH2n的单位元)取b=a-1；即一定存在aba=a,即SH2n是一个正则半群,易验证该半群的幂等元集就是每个群的单位元,即

　　E(SH2n)={a∈SH2n|取定n,a∈SH2n且?b∈Sh2n,ab=ba=b}

　　3.4 证明:SH2n是一个完全单半群

　　证明：因为对?a,b∈SH2n,?x,y∈SH2n;使得xay=b;实因：

　　可取x=a-1,y=b;可得xay=b

　　所以SH2n是一个单半群；由

　　E(SH2n)={a∈SH2n|a∈SH2n且?b∈Sh2n,ab=ba=b}

　　知SH2n的本原幂等元是e∈Sh2n∩E(SH2n),因为对?f∈E(SH2n),ef=fe=e;

　　所以SH2n是一个完全单半群。

　　3.5 证明该半群是一个逆半群

　　证明：因为该半群是具有交换律的，即对?a,b∈SH2n,ab=ba;所以幂等元一定是可以交换的，该半群是一个逆半群。

　　3.6 证明半群SH2n的极小理想是Sh2n，且该理想是一个完全单半群；

　　证明：设I是SH2n的一个理想，则ISH2n?I且SH2nI?I;

　　对?a∈Sh2n?SH2n有a∈I;即Sh2n?I;

　　而Sh2n也是SH2n的一个理想.所以SH2n的极小理想是Sh2n,由定理三可知Sh2n是一个完全单半群,该半群是不存在极大理想的，实因：若A是Sh2n的极大理想，记|A|=m,m∈N*;若B是SH2n的一个子集，且|B|=m+1;则知A?B;B也是SH2n的一个理想；所以SH2n没有极大理想。

　　3.7 在半群SH2n上定义一个关系ρ，若(a,b)∈ρ，当且仅当|a|=|b|;证明:该关系在SH2n是一个同余关系。

　　证明：因为：对?a∈SH2n,|a|=|a|,即(a,a)∈ρ;对

　　?(a,b),(b,c)∈ρ,有|a|=|b|,|b|=|c|?|a|=|c|;

　　所以,(a,c)∈ρ;

　　若(a,b)∈ρ,那可得(b,a)∈ρ, 综上所述可得ρ是一个等价关系,对?(a,b)，(c,d)∈ρ,有(ac,bd)∈ρ;实因：由(a,b)∈ρ,得|a|=|b|，(c,d)∈ρ,得|c|=|d|，从而

　　|a||c|=|ac|=|b||d|=|bd|；

　　即：ρ在SH2n是同余的。

　　[1] HOWIE J M．Fundamental of Semigroup Theory[M]．New York：Oxford University Press Inc，1995．

　　[2] YANG Xiuliang,LU Chunghan.Maximal Properties of Some Subsemigroups in Finite Order-Preserving Transformation Semigroups[J].Communication in Algebra, 2000,28(7)3125-3135.

　　[3] 徐波，ZHAOPing，LI Junyang.Maximal Properties of Some Subsemigroups in Finite Singular Partial Order-preserving Transformation Semigroups[J].Journal of Mathematics,2010,30(4):617-621

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　　1672-5832(2017)10-0214-01

　　孙泽香(1991.03-)，女，汉族，贵州贵阳人，研究生，贵州师范大学，研究方向:半群代数。