白瑞霞

　　（南京工业大学浦江学院，江苏南京 211134）

0 引言

中值定理在数学分析起着重要的作用,而导数本质上只反映函数在一点的局部特征，如果我们希望了解一个函数的整体特性，我们就必须在局部与整体之间建立某种联系，而建立此联系的桥梁正是作为核心的中值定理,同时也是探究函数在某个区间性质的强有力的工具。微分中值定理不仅在理论上很重要，而且在我们日常生活中的应用也很广泛。在这篇短文中，我们试图对中值定理的应用做一个较为系统的阐述和总结，希望能够抛砖引玉，对中值定理的研究和教学起到一定的参考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的简述

　　我们知道，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理。它们之间有着密切的联系，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来。例1.1.1设f(x)，g(x)，?(x)在[a,b]内可导，试证：存在ζ∈（a,b）使得

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　F= 则Cauchy中值定理就变成Lagrange定理。从而Cauchy中值定理可视为Lagrange定理在表达形式上的推广。

1.2 微分中值定理的推广

前面我们已经讨论了中值定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导。那么如果我们把定理中的闭区间推广到无限区间，再把开区间推广到无限区间的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理或结论呢？

　　通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的一个，下面给出定理。

　　1.2.1 泰勒(Taylor)定理

　　若函数f在[a,b]上存在n阶的连续导函数，在（a,b）上存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，x∈[a,b]，至少存在一个点ζ∈（a,b），使得

　　

　　1.2.2 带佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式

　　

　　称此式为(带佩亚诺(Peano)余项的)麦克劳林公式。

　　1.2.3 带拉格朗日型余项的泰勒公式

　　

　　

2 微分中值定理的应用

2.1 讨论存在性

例2.1.2：设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0，求证：存在ζ∈（a,b），使

　　

2.2 利用Lagrange中值定理证不等式[3]

例2.4.1利用微分中值定理证明：

　　

　　

2.3 证明恒等式及等式

2.4 求近似值

几个微分中值定理给出了计算近似值减少误差的方法，若能构造出合适的辅助函数，利用具体的中值定理就能得出近似值。

　　

　　当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出其近似值,这时微分中值定理是解决这种问题的最好方法。

3 微分中值定理的应用总结

上述我们已经详细的给出了微分中值定理的一部分应用，另外微分中值定理还有求行列式的值、求高阶导数在某些点的数值、求初等函数的幂级数展开式、判断函数的极值等的应用，我们就不在这里一一举例。