连续函数的单调性与一一对应性等价_海外文摘·艺术_杂文_网络文摘

　　（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖 241000）

0 引言

函数的单调性与一一对应性是我们非常熟悉的概念，中学数学中就开始涉及。为行文方便，现将其定义叙述如下：

　　

　　而本文要指出的是，对于单个区间上的连续函数而言，一一对应和严格单调这两个概念是等价的。

　　在现行的大多数数学分析与高等数学教材中，关于反函数的连续性定理以及反函数的导数定理，定理条件中均要求函数是严格单调的，定理的完整叙述如下。

　　定理1.3：反函数的连续性：若函数f(x)在区间I上严格单增（减）且连续，则它的反函数x=f(f)也在相应的区间I={y：y=f(x)，x∈I}上严格单增（减）且连续。

　　

　　首先我们要注意到，一方面，这两个定理主要是为了证明初等函数的连续性以及对初等函数求导，就这个目的而言，严格单调的要求并不高；另一方面，假设函数是严格单调的，会让证明过程简洁得多。正是出于这两个考虑，所以现行教材上大多采用这个版本。但是就理论的严谨性而言，我们也要知道，严格单调这个条件是多余的。下文我们将证明定义在单个区间上的连续函数只要有反函数，则必定是严格单调的。

1 连续函数的单调性与一一对应性

本节中，我们指出，对于单个区间上的连续函数，其严格单调性与一一对应性是等价的。事实上，若严格单调必定一一对应，这是显然的，我们只需证明另一面即可。对此我们分三步，以三个命题的形式给出证明。

　　

　　证明：不妨假设f(a)＜f(b)。反证法。如果f(x)＜f(a)，则有f(x)＜f(a)＜f(b)，由连续函数的介值定理，存在E∈(x，b)，使得f(E)=f(a)，与一一对应矛盾；类似地，如果f(x)＞f(b)，则有f(a)＜f(b)＜f(x)，从而存在E∈(a，x)，使得f(E)=f(b)，与一一对应矛盾。因此，f(a)＜f(x)＜f(b)。证毕。

　　命题1.2：设y=f(x)是定义在闭区间[a，b]上的一一对应的连续函数，则f(x)严格单调。

　　证明：不妨假设f(a)＜f(b)，下证f(x)严格单增。（若f(a)＞f(b)，完全类似地可以证明f(x)严格单减。）

　　

　　命题1.3：设y=f(x)是定义在区间I上的一一对应的连续函数，则f(x)严格单调。

　　证明：区间I上任取两点a＜b，

　　若f(a)＜f(b)，下证f(x)在I上严格单增。

　　

　　令m=min{a，b，u，v}，M=max{a，b，u，v}，由命题2.2可知，f(x)在[m，M]上严格单调。又已知a＜b，f(a)＜f(b)，因此f(x)在[m，M]上严格单增，故f(u)＜f(v)。

　　若f(a)＞f(b)，类似可证f(x)在I上严格单减。

　　综上，f(x)在I上严格单调。证毕。