摘 要：类比法是数学理论发展的重要方法。对于数学理论的学习，类比法也是学习的一种重要手段，本文通过观察与思考，考察了线性代数中转置、伴随、逆三个概念之间的关系。从定义出发，通过类比发现三个概念所具有的对应公式具有很多相似之处，并且讨论了三个概念之间的一些简单混合运算结果，对于理解与记忆相关公式有着很好的作用。
关键词：类比法；矩阵的转置；伴随矩阵；矩阵的逆
一、引言
对于刚入校的大学生来说，学习一门新的数学课程会在各种方面遇到困难，包括概念的给出，定理性质的证明，公式的推导，以及书本知识的结构等都会与中学数学有着很大的不同，基于此会有一大部分学生对所学知识感觉枯燥乏味，通过对几届学生的线性代数的教授我发现，利用学生已有知识结构去安排线性代数相关概念的提出是非常重要的，层层递进，从而利用所学的新知识去统一解决过去初等数学中的某些问题，让学生从大的方面去了解，原来学习这些新东西是统一解决某些已学的问题，有了目标学生心里就有了谱，至少知道了为什么学这些东西。为了统一处理，我们需要定义新的概念以及发展新的方法，事实上数学中许多问题的解决离不开新的数学工具的引入，从而产生一些新的概念以及新的数学方法，线性代数也一样。线性代数这门课程对于学生来说应该是既陌生又熟悉的一门学科，一般的线性代数教材通常主要是围绕着怎么解线性方程组展开其相关内容，在结构上我们可以认为分两部分，一部分是发展概念与方法统一处理方程组有没有解的判定条件以及解的形式，另一部分是对在解方程组所引入的矩阵概念中的方阵做了一定的理论分析以及简单应用，包括对角化，包括二次型等概念。其中对于简单的线性方程组，我们已经在初中就已经掌握，当然大学的线性代数课程最主要的任务其实是把各种线性方程组做统一处理，为此引入了一系列概念，包括行列式，矩阵，初等变换，转置，伴随，逆，线性相关，线性无关等概念。其中秩与初等变换这两个概念出现的频率可谓不是一般的多，因此需要对这两个概念需要有着深入的理解，不难发现线性代数中新的概念给出利用了数学中常用的几种手段，包括归纳方法，类比方法，这是数学中发现新的结论以及新的处理方法的重要手段。本文通过发现转置，伴随，逆三个概念之间的联系，利用类比法讨论了三个概念所对应的一些数学公式之间的相似性，这其实也是学习数学一种方法，通过发现相似性，猜想相关结果，然后验证是否正确，同时加深几种概念之间的联系，帮助对相应结果的记忆等。正如数学家们常言道，发现问题比解决问题更为重要，而类比法就是发现问题的重要手段。
二、转置，伴随，逆之间的关系以及类比性
在线性代数的教学中，我们发现每次讲到方阵的转置、伴随、逆运算以及三种运算组合在一起产生的运算时会出现大量公式，其中对于很重要的公式我们当然会重点讲解并给出证明，但是一些公式如果并不是那么重要或者证明过程很复杂的话，通常的处理方法是一笔带过，当然如果这个所谓的一笔带过只是读一遍的話其实作用与不讲差不多，因为书上列出来了，但是其实有时候的一笔带过足以让学生对这些结果有个最初的感觉，甚至能够记住公式，如果学生课后有时间，自己可以试着去写写这些公式得证明，这也是对于课本中重要公式的运用与理解的一种方式，从而加深每个公式的理解与记忆。本文从方阵中的转置、伴随、逆运算之间关联中利用类比的方法指出了一些公式的相似性，从而加深对一些相关公式的记忆与理解。对于本文所涉及的三个概念，线性代数书本的出现顺序一般是转置，然后伴随，最后逆。
（一）转置的相关结果
首先我们给出转置的一些简单性质，然后与本文其它两个概念所满足对应的相关性质作比较，得出这些结果其实很相似，其它结果的相似性请自行推导得出结论。作为后面两个概念的基础，通常对于方阵的转置运算我们会利用转置的定义给出如下的运算律证明：
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（二）伴随的概念以及其与转置相关结果的对比
在给定方阵，方阵A的伴随矩阵A*相当于将A中的每个元素换成它的代数余子式，再转置，即。所以从某种意义上来讲，伴随运算是一种转置运算，既然如此，我们应该去观察伴随运算是否会遗传转置运算的一些运算规律，事实上通过比较我们发现伴随运算律确实蕴含着转置运算的一些特征，当然我们不能寄希望运算律一模一样，毕竟是两个不同的概念。具体我们做如下对比，与上面给出的转置运算律对应给出：
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注意到|A|只是一个常数而已，所以整体上看来，除去相差一些常数，这些结果与转置运算的结果有着很大的相似性。
（三）方阵的可逆等价描述以及与转置相关结果的对比
对于方阵是否可逆书上给了一个等价条件，即|A|≠0并且，注意到|A|只是一个常数而已，所以逆的运算从某种意义上讲就是伴随运算，而根据上面的分析，伴随是用转置定义的，从而形式上看逆运算也就是转置运算，具体运算律我们与上面对应给出：
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（四）三种运算之间的混合运算
既然三种运算形式上看起来可以归结于一种运算，那么他们之间的混合运算律是不是可以交换呢？答案是肯定的，具体有如下结果：
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对于以上所述事实，其实都可以给出证明，只是在证明之前，我们可以通过类比法猜想是否有相应的运算律，这在数学中也是很重要的，对于数学的学习我们需要大胆的猜想小心的验证，当然首先需要我们的猜想是有一定依据的。
三、类比法在数学学习中的意义
本文从转置运算律出发，认真分析伴随运算与逆运算定义，从而发现三种运算律之间的联系，给出了三种运算律之间的比较，发现其间有着很多相似之处，这不仅可以加深对这些结论的记忆和理解，同时也为学生们在以后的数学学习中如果碰到类似情形对未知结论做出大胆的猜想提供了一个很好的示例。当然最终我们应该通过自己的推导给出以上所列结论的证明，达到知其然也知其所以然。
参考文献：
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[5]李尚志.线性代数精彩应用案例（之一） [J].大学数学， 2006， 22（3）：1-8.
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