李悦 沈洁

　　摘要：

　　尽管研究者对于教师知识分类的研究不尽相同，但“学科内容知识”（SMK）和“教学内容知识”（PCK）都是研究核心。在数学教育领域，SMK和PCK的概念逐渐被精细化，美国密歇根大学的Ball教授及其研究团队提出的“面向教学的数学知识”（简称MKT理论）已成为研究数学教师知识的热点问题。本文将该理论应用于“函数的奇偶性”的教学实践中，借助视频分析法来分析一线教师在MKT各个子类上的表现，为实际教学提供新的研究视角，关注一线教师面向教学的数学知识。

　　关键词：MKT理论;函数的奇偶性;学科内容知识;教学内容知识

　　一、引言

　　教育的基本要素是教育者、受教育者、教育媒介，三者缺一不可。在学校教育中，教师是教育的主导者，是保证教育质量的关键。优秀的教师不仅需要具备深厚的学科知识，还需具有专业的教学知识。高质量的学校教育，对教师的要求更严格，教师不仅要有专业的学科知识，还要又将学科知识落实到实处的能力。MKT理论将数学教师知识分为六类，分别是：数学水平内容知识、一般内容知识、专门内容知识、内容与学生知识，内容与教学知识以及内容与课程知识。本文以《函数的奇偶性》教学为例，以MKT框架为理论基础，在理清知识内涵和分类的基础上探寻高中数学教师在课堂教学中涉及到的知识，并将本节课录制成录像，通过课堂教学录像将教师与学生的每一句话转化为课堂文字稿，对每个环节的细节进行编码分析，希望可以促进数学教师对教学的分析、学生思维的分析以及反思教学等。

　　二、研究过程与方法

　　本文研究的对象是大连市某高中高一数学教师，以其所讲授的《函数的奇偶性》为例。研究者在听课之前分析该名教师的教案，之后下到课堂听课，课后与该教师进行访谈交流，对整节课进行录像并全部转录成文字，借助MKT理論框架分析教师的MKT情况。

　　该名教师授课流程如下：

　　1、 创设情境，提出问题：教师与学生共同回忆初中学习过的轴对称和中心对称知识，探讨在平面直角坐标系中，点的坐标关于轴对称和中心对称的变化规律，从学生已有的知识出发，创设轻松愉快的探索情境，引起学生的学习兴趣。

　　2、 观察归纳，形成概念：从熟悉的知识转入对具体函数y=x＼+2，y=|x|的图象及数量规律的研究，设计三个问题引导学生从感受图象特征转变为探究数量规律。教师适当引导学生初步得出偶函数定义，教师进一步完善定义，并强调判断偶函数的前提是判断函数定义域关于原点对称。

　　3、 类比推理，深化理解：类比偶函数定义，学生能顺利得出奇函数的定义，此时教师提高要求让学生尽可能用精确的数学语言叙述奇函数的定义，同时得出奇函数定义域的特点。

　　4、 强化定义，深化内涵：根据定义判断一个函数的奇偶性是本节课的教学重点，通过对课堂例题的练习与讲解，师生共同探讨得出解此类题的一般过程，使学生体会到函数奇偶性的数与形的联系。

　　三、MKT各子类表现分析

　　1、 数学水平内容知识（HCK）

　　HCK代表数学水平内容知识，横向来看，教师应了解不同数学内容在不同课程、不同方面之间的联系[1]。纵向来看，教师应知道同一知识在学生的不同学段的前后联系。本节课教师从初中的轴对称和中心对称知识入手，通过学生熟知的函数，y=x＼+2，y=|x|，让学生初步感受函数奇偶性在图像上的反映。做到了知识间的承接，强调了知识脉络间的联系，但缺乏对知识的横向联系。

　　2、 一般内容知识（CCK）

　　CCK代表一般内容知识，是指针对所有学生来说都必须掌握的数学知识与技能，即“纯”的数学知识，是跟教师的教学方法无关的知识本身[4]。具有良好的数学一般内容知识的教师应该充分理解奇、偶函数的概念及其相关性质。本节课该名教师熟练掌握函数的奇偶性的概念，并可以快速的判断出给定的函数的奇偶性。

　　3、 专门内容知识（SCK）

　　SCK代表专门内容知识，是进行数学教学必备的专业化、独特的数学学科知识，比教给学生的知识更丰富，更深刻[3]。对于一堂课而言，最重要的是教师要明确本节课的教学目标，并运用专门内容知识完成一堂课的教学目标。

　　该名教师典型例题的选取具有自己的独特理解，难度梯度依次递增，每一道例题都会引出函数奇偶性的相关知识点。在课堂上能够分析学生做题错误产生的原因，当学生给出非常规的解答时能迅速做出判断并给予点评。

　　4、 内容与教学知识（KCT）

　　KCT是指综合学科知识内容和教学实践两方面的知识，既具有理论性又具有实践性。

　　该名教师采用学案式教学，学案中的题目虽然全部选自新教材的内容，但不拘泥于教材，新教材探索与发现中不以题目形式出现的思考反问部分，该教师都将其编成数学题，选题遍布整本教材包括课后习题，章末练习题，全书最后的复习题等。教师充分依据学生的认知水平及自己对教材的解读对书上的内容进行改编，活跃的课堂充分体现了“以学生为主体”的授课理念，使学生成为课堂的主人，能够让学生更加深入地思考内容，培养了学生的思维能力，体现出该教师较高的教学知识水平。

　　5、 内容与学生知识（KCS）

　　KCS指教师对学生在具体数学内容的学习能力、思维方式和学习困难上的了解程度，对于学生的思维方式及错误的知识有预见性，并能采取相应的应对措施[2]。

　　本节课该教师设定的教学重点是函数奇偶性的概念及其图像特征，难点是对函数奇偶性的判断。在课堂上教师通过探究式教学引导学生分析函数y=x＼+2，y=|x|图像，得出偶函数的定义。学生对于函数奇偶性的理解与掌握较好，但在判断函数奇偶性的时候，部分同学会遗忘判断函数的奇偶性需要先判断函数的定义域。在强化学习部分，教师引导学生探究函数奇偶性与单调性之间的关系，得出如果y=f（x）是偶函数，那么其在

　　x>0与x<0时的单调性相反;如果y=f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同。进而得出利用函数奇偶性与单调性比较函数值的大小的相关题型。分析发现，该名教师无法完全预测学生的课堂表现状况，但成功预测了学生的难点。

　　6、 内容与课程的知识（KCC）

　　KCC是指教师能够根据教科书的知识体系，了解知识来源。要求教师在理解新课程标准的基础上深度挖掘教材、熟悉教材，摸清教材编写者的意图，同时也该了解本节内容在教材中占据的地位及作用。具有良好内容与课程知识的教师，对教学内容了然于心，对教学过程有充分准备。从课前知识的预设到课程的实施，再到课后的巩固与练习，教师都应保持清晰思路。针对本节课而言，教师应该知道函数的奇偶性的教学安排在哪个学段，有关函数图像的对称性、初中阶段学习的对称关系在教材中是如编排的，该如何安排函数奇偶性的发生与发展。

　　本节课教师从学生熟知的函数图像入手，引导学生从对称的角度思考自变量互为相反数的两个数的函数值的关系。教师与学生共同回忆轴对称图形和中心对称图形的特征，以及给定点坐标在平面直角坐标系不同象限中的数量关系，这样做既有助于理解新知识，又促进学生对知识的直观想象。该教师能够引导学生以核心知识为重点，建立知识的多元表征，建构课程内容间的联系，帮助学生突破难点，由于对课堂探讨实践及课堂节奏把握不够，出现拖堂的情况。从总体上来说，该教师的KCC的知识水平整体表现较好，但还有一定的提升空間。

　　四、结论

　　本研究利用MKT理论对高中一线数学教师的知识分析得出，该教师的CCK水平明显高于HCK，SCK，KCS，KCC，KCT五类水平，教师没有出现数学知识错误，而本节课的KCS水平明显低于其余五类的水平。当然，决定一堂课的教学效果的因素不仅只有这些，教师本身的素质、人格魅力也都是做好教学的必要条件，也是教师教学知识体系中的重要组成部分。MKT的框架可以用来指导教师上课，也可以用作评课的一种框架。将MKT理论与课堂教学紧密联系起来，以MKT的视角对学科的教学进行研究既具有理论意义，又具有实际意义。

　　[参考文献]

　　[1]庞雅丽，李士锜.职前数学教师MKT现状的调查研究[J]数学通报，2012，51（08）：8.

　　[2]徐章韬，顾泠沅.面向教学的数学知识[J]教育发展研究，2011，31（06）：53-57.

　　[3]陈艳.初中数学教师面向教学的数学知识现状的案例研究[D].四川师范大学，2016.

　　[4]董涛.基于PCK结构的数学课例分析程序与特征[J].课程、教材、教法，2015（11）.

　　基金项目：沈洁 国家自然科学基金项目，网络通讯中的优化模型与近似束方法，61877032.

　　（作者单位：辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029）