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数学归纳法

时间:2023/11/9 作者: 读者·校园版 热度: 19301
小学五年级时,我大概是班里最聪明的学生。有一天,老师出了一道很难的应用题,班里没有人能做出来。放学后,我不肯回家,一个人待在教室里苦思冥想,终于成功解题。我穿过操场,到老师的办公室宣布,我做出来了。太阳正下山,校园被镀上一层金黄色的光泽,那真是智慧闪光的时刻,到现在我都记得。过了一年,我学会了设未知数,小学应用题一下变得简单了。小学的应用题,像是要捕捉一条不断游动的鱼,想办法靠近它,却不知道路径在哪里,学会设未知数,那个x就清晰地摆在面前。那是一种豁然开朗的快感。

  到了高中,学校里的聪明人太多了。有位师兄,自己在家钻研电镀技术,被保送清华大学化学系,还给全校师生做报告。有的同学,参加数学竞赛,拿奖如探囊取物。我曾自以为聪明,却被同学们的智力碾压,于是把兴趣都放在了徐志摩身上,数学成绩成了倒数。有一次上数学课,老师在黑板上出了一道题,叫我上去解答。那道题不难,我做出来了。老师说:“你们看,连苗炜都能把这道题做出来。”全班同学哄堂大笑,我也跟着笑,并不觉得受到了多大的羞辱。

  我的数学成绩糟糕,但也能在学习中得到乐趣。让我印象最深的是数学归纳法,简单来说,一个命题在n? 1的时候成立,假设它在n? k的时候成立,再看它在n? k+1时能否成立。这是一种绝妙的推导方法,我说不出来数学归纳法为什么是正确的,但特别喜欢它严丝合缝的逻辑。所谓理性,就是在某几个公理之下,推导出一个又一个定理,每一个定理都是可以推导的,这就是世上最讲道理的事情。我在数学归纳法中看到了理性的光芒,总盼着考卷上能有一道题是用数学归纳法证明的。如果有,我就非常高兴;如果没有,我就非常沮丧。我实在太喜欢数学归纳法了。

  像我这样没有数学天分的学生,居然在大学里念了一年数学系,我学了微积分和立体解析几何,会用求导数的方法解决一些高中的数学题,那真是高屋建瓴啊。学一点儿高等数学,再看中学数学课本,就会用一种俯瞰的视角。有一个德国的数学教授,100年前写过一本书叫《高观点下的初等数学》,是让中学教师以更高的观点来看待中学的数学课,观点越高,事实就显得越简单,实数领域难理解的问题,等你明白了复数是咋回事,回头再看就觉得太简单了。高等数学引入了理解起来有一点儿困难的思想,却使真正复杂的难题得以简化,解决起来更容易。这是关于数学的一个悖论,但在别的地方也能碰到这种情景。

  我知道,世上有一些极为聪明的人,在求学时期,就能以极高的智力俯瞰他的同学、他的师长乃至世间事,比如凯恩斯,比如维特根斯坦。后来他们的研究,大概也可以说是高观点的经济学和高观点的哲学。有一年我去剑桥大学采访,专门去拜访了维特根斯坦的墓地。说实话,我看不懂他的书,但知道世上有这样绝顶聪明的人,就会心生敬畏。我不奢望你成为那样的聪明人,但希望你以后在某些地方能用高观点来看待事物,这样,纷繁的事物会变得简单一点。还有就是,知道世上诸多领域有许多高明的人,能让我们更谦虚、更爱学习。

  我现在还会设未知数,但未必能做出什么应用题;我還记得数学归纳法,但未必能用它证明最简单的命题;微积分更是一点儿也不记得了。但是,未知数、数学归纳法、微积分曾经带给我的快乐,还像是不停闪烁的光芒。我希望你的智力生活中充满这样的光芒。这其实非常非常不容易,你要识数,会数1、2、3,然后知道1根香蕉加2根香蕉等于3根香蕉,在小学一年级会学算术,把香蕉忘掉,只管1+2? 3。要用半年的时间学会加减乘除,看到两位数、三位数不再感到害怕。学上好几年,忽然要用a和b来代替具体的数字进行运算,课程叫作代数了,你就会抽象地看待事物了。你把四则运算都弄明白了,忽然有一天,要学负数了——以前都是3减去1,为什么1还能减去3呢?优秀的数学老师会告诉你结合律、单调律之外,还有一个重要的法则叫“运算恒可进行”,1能减去3,-1还能求平方根呢。学了10年的算术和数学,才知道什么叫虚数,才知道一个函数会是一条线,一个方程式是一个马鞍面。这个过程非常漫长,得到的乐趣却是极大的,大到能在你内心充盈几十年,就像现在的我,还念念不忘数学归纳法。

  我希望你得到这样的乐趣,我此生的遗憾就是这样的乐趣得到的太少了,丢弃得太早了。
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