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非紧完备Einstein流形上“面积”与“体积”的单调性

时间:2023/11/9 作者: 山东青年 热度: 18124
韩一士

  

  

  摘要:

  非紧完备Einstein流形上“面积”与“体积”的单调性一直是一个非常有意义的问题。在本文中我们将先给出在非负的Ricci曲率上的三个单调性公式,并说明它们和向切锥收敛的速率有关。进一步的,我们将证明当Ricci曲率大于负常数时相应的单调性公式。

  关键词:Einstein流形; “面积”; “体积”; 单调性

  一、概述和定义

  在本文中Mn是一个完备的n维光滑流形,其中n≥3。在本文中我们主要考虑M具有非负Ricci曲率的情况,我们将给出在这种情况下M上的三个单调性公式。之后我们将更近一步,将对Ricci曲率大于负常数的情况进行讨论,并得出此时的单调性公式。

  下面我们先给出几个定义。

  定义G为流形M上的Green函数;给定x∈M且集合G=Gx=G(x,g)。记G=Gx是极点x在的Green函数。接下来我们定义b=

  G,由此我们可以显然地推出。

  下面我们来定义n维完备光滑流形Mn上的“面积”与“体积”。

  事实上A和V可以直观的理解为“面积”和“体积”,并由此易知A和V是有界的。

  二、三个单调性公式

  下面我们将给出非紧完备Einstein流形上“面积”与“体积”的三个单调性公式

  定理1.第一单调性公式

  以上是一般n维光滑流形Mn上的结果。

  特别的,对具有非负Ricci曲率的流形,我们得到以下结果。

  推论1.如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形,那么,对所有的r>0,

  一个自然的问题是改不等式能否取到等号。事实上,如果对某个r>0,不等式取等号,那么集合{x:b(x)≤r}与欧式空间Rn中半径r的球等距。

  注意到上面推论中的不等式与拥有非负Ricci曲率的流形上的Bishop-Gromov体积比较定理相反。从中可以得到如下事实,上述不等式和欧氏几何中的体积有着紧密联系。同样,我们得到以下结果。

  推论2,如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形,且r2>r1>0,则

  且等号成立当且仅当集合{x:b(x)≤r}与欧式空间Rn中半径r2的球等距。

  下面给出第二单调性公式

  定理2.第二单调性公式

  这等价于

  类似于之前的情况,我们对具有非负Ricci曲率的流形从第二单调性公式得到如下直接的推论。

  推论3.如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形,且r2>r1>0,则

  其中

  上述不等式等号成立当且仅当集合{x:b(x)≤r}与欧式空间Rn中半径r2的球等距。

  定理3.第三单调性公式

  对r2>r1>0,

  三、当曲率大于负常数的单调性公式

  上面我们集中于对M具有非负Ricci曲率的情况进行讨论,然后给出了在这种情况下M上的三个单调性公式。事实上,在Ricci曲率大于负常数的情况下,我们也可以得到类似的结果。下面我们对这种情况进行推广。

  推论4.若Ricci曲率满足Ric≥-Λg,则

  证明:显然我们有

  同时我们注意到

  这说明

  所以我们有

  我们可以从中得到下面关于单调性的直接推论。

  推论5.如果M是一个n维流形且Ric≥-Λg,r2>r1>0,则

  接下来我们定义

  则

  推论6.如果Ricci曲率满足Ric≥-Λg,则

  证明:

  这说明

  又由

  所以我们得到结论若Ricci曲率满足Ric≥-Λg,则

  下面是一个直接的推论

  推论7:

  [参考文献]

  [1] Allard,W.K., Almgren, F.J. Jr: On the radial behavior of minimal surfaces and the uniqueness of their tangent cones. Ann. Math. (2) 113(2), 215-265 (1981)

  [2] Bakry, D. , Ledoux, M.:A logarithmic Sobolev form of the Li ?Yau parabolic inequality. Rev. Mat. Iberoam., 22 (2006), 683-702.

  [3] Colding, T.H.: New monotonicity formulas for Ricci curvature and applications;I. Acta Math. 209, 229?263 (2012)

  (作者单位:浙江警察学院,浙江 杭州 310053)endprint
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