薛梅

　　

　　

　　数列是高中数学的一个重要板块，在历年来高考中，所占比例10%左右，而数列求和是考查中重点内容之一，很多学生都觉得面对数列求和问题，显得很无力，下面我将结合具体实例来研究求和的方法.

　　一、倒序相加法

　　此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.其实质是对偶原理

　　小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.

　　二、公式法（或直接求和法）

　　此方法仅适用于等差或等比数列。

　　1.等差数列求和公式：

　　2.等比数列求和公式：

　　例2 （2013四川，理16）（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.

　　解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.

　　由已知，可得2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）.

　　所以，a1+d=4，d（d-3a1）=0，解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.

　　所以，数列的前n项和Sn=4n或Sn=

　　小结：数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.

　　三、裂项相消法

　　如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.

　　例3 ?.[2014·全国大纲卷（理18）]等差数列的前n项和为，已知，a2为整数，且.

　　（I）求的通项公式;

　　（II）设，求数列的前n项和.

　　[解析]（I）由，为整数知，等差数列的公差d为整数.又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为.（II），于小结：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意相消后所剩下的项数，后面还很可能前n项和的最值结合起来考查参数取值范围。

　　四、错位相减法

　　源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.

　　例4 [2014·全国卷Ⅰ（文17）]已知是递增的等差数列，a2，a4是方程的根。

　　（I）求的通项公式;

　　（II）求数列的前n项和.

　　[解析]：（I）方程的两根为2，3，由题意得，，设数列的公差为 d，，则，故d=，从而，

　　所以的通项公式为：

　　（Ⅱ）设求数列的前n项和为Sn，由（Ⅰ）知，

　　则：

　　两式相减得

　　所以

　　小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.④注意相减后项数变成n+1項。

　　五、分组求和法

　　若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

　　例5 ?[2014·北京卷（文15）]已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

　　（1）求数列和的通项公式;

　　（2）求数列的前n项和.

　　[解析]（I）设等差数列的公差为d，由题意得：，

　　所以，

　　设等比数列的公比为q，由题意得：，解得q=2.

　　所以，从而.

　　（II）由（1）知，，

　　数列的前n项和为，数列的前n项和为，

　　所以数列的前n项和为.

　　六、结语

　　在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。